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齐次坐标系的理解

目录4 节

在计算机图形学里面会经常碰到几何体的平移,旋转,缩放以及投影变换. 一般情况下会涉及到齐次坐标与变换矩阵. 为了后续对变换矩阵内容的讲解, 在这里先简要的介绍一下什么是齐次坐标.

提出问题

两条平行线可以相交吗？

在欧氏空间（几何学）中，同一平面上的两条平行线不能相交，或者说不能永远相交。这是一个大家都熟悉的常识。

但是，在投影空间中就不一样了，比如，下图上的火车铁路在远离眼睛的时候会变得更窄。最后，两条平行的铁轨在地平线处相交，也就是无限远处的一点。

train.jpg铁路变窄，在地平线处相交

欧氏空间（或笛卡尔空间）能很好地描述我们的2D/3D几何，但它们不足以处理投影空间（实际上，欧氏几何是投影几何的一个子集）。一个2D点的笛卡尔坐标可以表示为(x，y)(x，y)。

如果这个点远去到无穷远呢？无穷远处的点在欧氏空间中无法具体展示。在投影空间中，平行线会在无穷远处相遇，但在欧氏空间中却做不到。

解决方法

由 August Ferdinand Möbius(不错,就是那个莫比乌斯圈的那位) 提出的齐次坐标，使图形和几何学的计算在投影空间中成为可能。齐次坐标是用N+1N+1个数来表示N维坐标的一种方式。

要制作二维齐次坐标，我们只需在现有坐标中增加一个额外的变量w。因此，笛卡尔坐标中的一点，(X，Y)(X，Y)在齐次坐标中就变成了(x，y，w)(x，y，w)。而笛卡儿坐标中的X和Y在齐次坐标中的xx、yy和ww则重新表达为

X=xwY=yw\begin{aligned} X = \frac{x}{w} \\ Y = \frac{y}{w} \end{aligned}

为什么叫 “齐次”呢？ 如前所述，为了将齐次坐标(x，y，w)(x，y，w)转换为笛卡尔坐标，我们只需将xx和yy除以ww即可。

(x,y,w)⇔(xw,yw)(x, y, w) \Leftrightarrow \Big(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}\Big)

将Homogeneous转换为Cartesian，我们可以发现一个重要的事实。让我们看看下面的例子。

HomogeneousCartesian(1,2,3) ⇒(13,23)(2,4,6) ⇒(26,46)=(13,23)(4,8,12) ⇒(412,812)=(13,23)    ⋮(1a,2a,3a) ⇒(1a3a,2a4a)=(13,23)\begin{aligned} Homogeneous& \quad Cartesian& \\ (1, 2, 3)\ &\Rightarrow \Big( \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \Big)& \\ (2, 4, 6)\ &\Rightarrow \Big(\frac{2}{6}, \frac{4}{6} \Big)& &=\Big(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\Big) \\ (4, 8, 12)\ &\Rightarrow \Big(\frac{4}{12}, \frac{8}{12} \Big)& &=\Big(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\Big) \\ &\;\;\vdots \\ (1a, 2a, 3a)\ &\Rightarrow \Big(\frac{1a}{3a}, \frac{2a}{4a} \Big)& &=\Big(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\Big) \\ \end{aligned}

如你所见 (1,2,3),(2,4,6)(1, 2, 3), (2, 4, 6)和(4,8,12)(4, 8, 12)这三个点对应于同一个欧氏点(13,23)(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}). 而任何乘以aa的数（1a，2a，3a）（1a，2a，3a）与欧氏空间中的（13，23）（\frac{1}{3}，\frac{2}{3}）是同一个点。因此，这些点是 “homogeneous/齐次 “的，因为它们在欧氏空间（或笛卡尔空间）中代表同一个点。换句话说，齐次坐标是与乘数aa不相关的。

Homogeneous2Cartesian.jpg

数学证明: 两条平行线可以相交

考虑以下欧氏空间的线性系统。

{Ax+By+C=0Ax+By+D=0\left \{ \begin{array}{c} Ax+By+C=0 \\ Ax+By+D=0 \end{array} \right.

而我们知道，由于C≠D，所以上述方程没有解。 如果C=D，那么两条线是相同的（重叠的）。

让我们重写投影空间的方程，将x和y分别替换为x/w，y/w。

{Axw+Byw+C=0Axw+Byw+D=0⇒{Ax+By+Cw=0Ax+By+Dw=0\left\{\begin{array}{l}A \frac{x}{w}+B \frac{y}{w}+C=0 \\ A \frac{x}{w}+B \frac{y}{w}+D=0\end{array} \quad \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}A x+B y+C w=0 \\ A x+B y+D w=0\end{array}\right.\right.

现在，我们有一个解，(x，y，0)(x，y，0)，因为(C−D)w=0，∴w=0.(C-D)w=0，\therefore w=0. 因此，两条平行线在(x，y，0)(x，y，0)处相交.

(x,y,0)(x,y,0)在几何上代表一条没有起点与终点, 也没有长度的射线，它只有方向。

齐次坐标的应用

齐次坐标在计算机图形学中是非常有用的基本概念，通过增加一个额外的维度WW后，可以用来对几何体进行缩放,旋转,平移,透视投影的矩阵变换.

任何NN维度齐次坐标，只要WW不为00，都可以通过将每一个分量除以WW来转换到 W=1W=1的向量, 然后获得其N−1N-1维的欧式空间的点值。

而当W=0W=0时，这个坐标表示无限长的一个向量，通常表示N−1N-1维的矢量。